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一、题目
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在ABC中，∠B=∠C=α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE.
（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
（2）如图②，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明。
二、分析
（1）小题很简单，由2倍角和三角形外角的性质得到等角，然后等角对等边，最后等量代换即证。
（2）小题就比较复杂了。
①猜测结论。
可以直接盲猜90°，也可以简单分析：题目中没告知角度，却要求角度，这类题一般都是特殊角度，再结合图形观察，确定为90°.
②挖掘整理已知条件
a.两中点：M是BC中点，D是FC中点。
可想到双中点模型初中数学：双角平分线模型与双中点模型，特殊三角形（直角三角形或等腰三角形）的中线，中位线，倍长中线。
b.两等边：AB=AC，DM=DE.
可想到等腰三角形，全等三角形。
c.二倍角：∠MDE=2∠C=2∠B
可想到角平分线，等腰三角形顶角的外角，圆心角和圆周角。
d.一垂直：AM⊥BC.
可想到垂直平分线，等腰三角形的三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直径对直角。
e.一平分：AM平分∠BAC.
可想到角平分线的性质和判定，等腰三角形的三线合一，2倍角
f.旋转构图。
旋转出等腰，旋转全等（手拉手全等模型），旋转相似（手拉手相似模型或一转成双）
③从问题入手
如何证垂直？
a.等腰三角形的三线合一
延长FE到点G，使EG=EF，转化为证AF=AG
继续连接CG，转化为证ABF≌ACG，同时DE成为FCG的中位线
b.全等于已知的直角三角形
c.相似于已知的直角三角形
连接AF，证ABM∽AFE
由旋转相似知，连接EM后，可转化为证ABF∽AME手拉手模型拓展：旋转相似，一转成双
d.直径对直角
证点E在以AF为直径的圆上（四点共圆）初中几何：四点共圆的九种判定方法
e.一边上的中线等于这边的一半
证OE=OA=OF，可利用等腰三角形的性质和三角形内角和进一步得到∠AEF=90°，或直接利用四点共圆得到∠AEF=90°
f.8字模型（角度模型）
证∠EAM=∠EFM
三、解答
（1）证明：由旋转，知 DM=DE，∠MDE=2α
∵∠MDE=∠C+∠DEC=α+∠DEC=2α
∴∠DEC=α=∠C
∴DE=DC ∴DM=DC
即D是MC的中点。
（2）五种方法
解：∠AEF=90°
简证1：对应思路a，由等腰三角形三线合一证垂直，构造手拉手全等图。
延长FE至点G，使EG=EF，连接AF，AG，CG.
由中位线定理，得 CG//DE，DE=1/2CG，
∴∠MDE=∠ACM+∠ACG
∴∠ACG=∠MDE-∠ACM=2α-α=α=∠B
由双中点模型，得 DM=1/2BF
又∵DE=1/2CG，DM=DE
∴BF=CG 又∵AB=AC
∴ABF≌ACG
∴AF=AG 又∵EF=EG
∴AE⊥EF ∴∠AEF=90°
简证2：对应思路c，构造旋转相似。
连接AF，EM，过点D作DG⊥EM于点G
则∠MDG=1/2∠MDE=α，GM=1/2EM
∠AME=α（同角的余角相等）
sin∠ABM=sinα=AM/AB
sin∠MDG=sinα=GM/MD=1/2EM/(1/2BF)=EM/BF
∴AM/AB=EM/BF
∴ABF∽AME
∴ABM∽AFE（旋转相似模型）
∴∠AMB=∠AEF=90°
简证3：对应思路d，主要运用四点共圆和直径对直角。
延长DE交AC于点G，连接GF，AF，EM
由（1）结论知，DF=DG=DC
∴点G在以CF为直径的圆上（距点相等，点共圆）
∴∠CGF=90°
∴∠AGF=∠AMF=90°
∴A，F，M，G四点共圆（共边同侧对角等，四点共圆）
∵∠DME=∠DGF
∴F，M，E，G四点共圆（外角等于内对角，四点共圆）
∴A，F，M，E，G五点共圆
∴∠AEF=∠AMF=90°
简证4：对应思路e，利用一边上的中线等于这边的一半来证直角。
连接AF，取AF中点O，连接OE，OD，OM
∵∠AMF=90°
∴OM=OA=OF
∵OD是FAC的中位线
∴∠ODM=∠C=α=∠ODE
又∵DM=DE，OD=OD
∴ODM≌ODE
∴OM=OE
∴OE=OA=OF
∴∠AEF=90°
简证5：对应思路f，倍长类中线，8字全等角相等+旋转相似，最终得到8字等角。
延长ED至点G，使DG=DE，连接EM，GM，GC
易证DEF≌DGC ∴∠DFE=∠DCG
∵DM=DE=DG ∴∠EMG=90°
∴∠AME=∠CMG
∵∠EDM=2α，DE=DM
∴∠DEM=90°-α ∴∠EGM=α
∴tanα=AM/MC=EM/MG
∴AME∽CMG
∴∠EAM=∠GCM
∴∠EAM=∠EFM
由8字模型可得
∠AEF=∠AMF=90°